ENSCK 2022 Mathématiques

Question 1 :

On considère la fonction définie par: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 x + \sin 2x + 2}}$. Alors son domaine de définition est:

A) $\mathbb{R}$

B) $]-\pi, \pi[$

C) $]\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$

D) $]0, \frac{\pi}{2}[$

Question 2 :

On considère la fonction définie par: $f(x) = \begin{cases} x^2 \ln (x^2) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$. Alors:

A) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$

B) $\forall x \in \mathbb{R}^*, f''(x) = 2 \ln x^2 - 6$

C) $f$ est deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$

D) $f''$ est continue sur $\mathbb{R}$

Question 3 :

Sur l'intervalle $]\frac{1}{4}, 4]$ l'équation $x - 1 - \sqrt{x} = 0$ possède:

A) au moins une solution

B) aucune solution

C) une solution unique

D) deux solutions

Question 4 :

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant l'équation différentielle: $f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) = 0$ tel que $f(0) = 1$, $f'(0) = 0$. Alors: $f(x) =$

A) $(x^2 + 1) e^{-x}$

B) $2e^{-x} - e^{-2x}$

C) $2e^{-x} - (x + 1)e^{-2x}$

D) $x + \frac{e^{-2x}}{2} + \frac{1}{2}$

Question 5 :

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = x + \frac{1}{4} - \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative. Alors:

A) $(C_f)$ n'admet pas d'asymptote

B) La droite d'équation $y = x - \frac{3}{4}$ est une asymptote de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$

C) La droite d'équation $y = x - \frac{1}{4}$ est une asymptote de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$

D) La droite d'équation $y = x + \frac{1}{4}$ est une asymptote de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$

Question 6 :

Soit $f(x) = \cos^3 x + \sin^2 x$. Alors $f(x) =$

A) $-\frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{1}{4}$

B) $\frac{\cos 3x}{4} - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{3\cos x}{4} + \frac{1}{2}$

C) $\frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{3\sin x}{4} - \frac{1}{2}$

D) $\frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{3\cos x}{4} + \frac{1}{2}$

Question 7 :

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $2 - i, 3 + 2i, -1 + 4i$ et $-2 + i$. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?

A) rectangle

B) carré

C) losange

D) parallélogramme

Question 8 :

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points A, B, C, et D d'affixes respectives $-1, -i, 1$ et $i$. On note G le barycentre du système pondéré $\{(A, 2022), (B, 2022), (C, 2022), (D, 2022)\}$. Alors:

A) $G \neq O$

B) GCD est un triangle rectangle isocèle

C) ABG est un triangle equilatéral

D) ABCD n'est pas un carré

Question 9 :

Soit C l'ensemble des points d'affixe z vérifiant $|z - 1| = |z + 1|$. Alors:

A) $C = \emptyset$

B) $C$ est un cercle

C) $C$ est l'axe des ordonnés

D) $C$ est l'axe des abscisses

Question 10 :

Dans le plan muni du repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ on considère la transformation $f$ qui associe à chaque point M d'affixe $z$ le point M' d'affixe $z' = e^{i \frac{\pi}{4}} z$. Alors $f$ est:

A) une translation

B) une homothétie

C) une rotation

D) une symétrie

Question 11 :

Soient $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ deux suites numériques définies par: $u_1 = 2, u_{n+1} = \frac{1}{3} u_n + 2$ et $v_n = u_n - 3$. Alors:

A) $(v_n)_{n \geq 1}$ est une suite géométrique et $u_n = 3 - (\frac{1}{3})^{n-1}, \forall n \geq 1$

B) $(v_n)_{n \geq 1}$ est une suite géométrique et $u_n = -3 + (\frac{1}{3})^{n-1}, \forall n \geq 1$

C) $(u_n)_{n \geq 1}$ est une suite convergente vers 0

D) $(v_n)_{n \geq 1}$ est une suite arithmétique

Question 12 :

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par $u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + ... + \frac{n}{n^2 + n}$. Alors:

A) $\forall n \in \mathbb{N} \frac{n}{n^2 + 1} \leq u_n \leq \frac{1}{n + 1}$

B) $\forall n \in \mathbb{N} \frac{n}{n + 1} \leq u_n \leq \frac{n^2}{n^2 + 1}$

C) $\forall n \in \mathbb{N} \frac{n}{n + 1} \leq u_n \leq 1$ et $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

D) $\forall n \in \mathbb{N} 0 \leq u_n \leq \frac{1}{n}$ et $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$

Question 13 :

On considère l'intégrale $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^3 x dx$. Alors $I =$

A) $\frac{1}{2}$

B) $\frac{3}{2}$

C) $-2/3$

D) $\frac{2}{3}$

Question 14 :

On note $I = \int_{0}^{\ln \sqrt{3}} \frac{e^x dx}{1 + e^{2x}}$ et $J = \int_{0}^{\ln 2} \frac{dx}{1 + e^x}$. Le changement de variable $t = e^x$ donne:

A) $I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{12}$

B) $I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2} \ln 2$

C) $J = \int_{1}^{2} \frac{dt}{1 + t} = \ln 3 - \ln 2$

D) $J = \int_{1}^{2} \frac{dt}{t(1 + t)} = 2 \ln 2 + \ln 3$

Question 15 :

On considère deux événements A et B tels que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{5}{12}$ et $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Alors $P(\overline{A} \cap \overline{B}) =$

A) $\frac{1}{6}$

B) $\frac{1}{12}$

C) $\frac{1}{4}$

D) $\frac{3}{4}$

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